Приблизно так уявляють собі простір безпілотні автомобілі.
У роботі Аміра Алі Ахмаді (Amir Ali Ahmadi) і Анірудхі Маджумдар (Anirudha Majumdar) з Принстонського університету (Princeton University) рішення сімнадцятої проблеми Гільберта використано в алгоритмі уникнення перешкод у безпілотних автомобілях і дронах. Вчені використовують розкладання складного полінома, який описує простір попереду, на суму квадратів. Якщо таке розкладання - успішно, це свідчить про наявність перешкоди на шляху.
Проблема звучить так: нехай дана раціональна функція від змінних з речовими коефіцієнтами, яка у всіх речових точках, де вона визначена, приймає неотрицьові значення. Для функції двох змінних, якщо показувати її на графіку, це буде означати, що при будь-якому значенні x її графік буде лежати над віссю y. Гільберт (David Hilbert) припустив, що таку функцію завжди можна уявити у вигляді суми квадратів раціональних функцій, всі коефіцієнти яких речові.
Приклад числової суми квадратів - це коли ми число 13 розкладаємо на 32 + 22. Так само функцію 5x2 + 16x + 13 можна розкласти на (x + 2) 2 + (2x + 3) 2. Справа в тому, що коли ми маємо функцію, що являє собою суму квадратів, ми точно знаємо, що вона ніколи не приймає негативних значень. Коли у нас є досить довгий багаточлад зі змінними в різних ступенях, досить важко відразу визначити, невід'ємний він на всьому просторі чи ні. За допомогою функції розкладання на суму квадратів ми можемо для будь-якого багаточлена визначити його неотрицательность.
У 1984-му році було запропоновано рішення, яке дослідники-інформатики довго не могли взяти на озброєння через низку проблем. У 2000-му році вчені все-таки наловчилися і «навчили» комп'ютери розкладати функції на суми квадратів - за допомогою напівозначених форм. Але ця реалізація була математично витратною і могла оперувати тільки багаточленами, приблизно, до шести змінних, а далі починала гальмувати. Вчені з Прінстона запропонували інший метод, обчислювально більш економний. «Ми з'ясували, що в багатьох завданнях у робототехніці, де потрібно довести невід'ємність, наш алгоритм працює набагато швидше старого», - говорить Маджумдар.
У випадку з безпілотними машинами, швидкість реакції дуже важлива. Математично, простір перед машиною представлений як функція з багатьма параметрами, значення якої відображають, є попереду перешкода чи ні. Щоразу, коли на шляху машини з'являється бар'єр або щось змінюється в просторі, новий багаточлен з новими коефіцієнтами генерується і перевіряється на позитивність. Коли машина наближається до перешкоди, в якийсь момент багаточлен приймає позитивне значення, - це фіксується за допомогою розкладання на суму квадратів - і машина не їде в бік перешкоди. Утворюється своєрідний математичний бар'єр.
В даний момент є багато алгоритмів уникнення перешкод, багато з яких засновані на системі детектування вхідних сигналів LIDAR, і новий підхід в порівнянні з іншими здається дуже перспективним.